Ein erster Ansatz könnte eventuell darin bestehen, eine Ordnung
auf den topologischen Beziehungen einzuführen, welche deren
``Stärke`` in Relation zu den anderen Beziehungen stellt.
Der Versuch einer Verwendung dieser Idee würde dann das
disjoint mit dem niedrigsten Wert belegen, gefolgt von
touch usw. Die Ordnung könnte dann so zur Bestimmung der
Gesamtbeziehung beitragen, daß diese genau dann disjoint
ist, wenn nur disjoint-Beziehungen unter den Simplexen
vorkommen
.
Ein touch ist dann für den Fall eines/mehrerer
Simplex-touches abzuleiten, wenn sonst nur Beziehungen
mit kleinerer Stärke (also disjoint) auftreten -
eine Fortführung dieser Methode ist leicht nachzuvollziehen.
Eine Umsetzung dieses Ansatzes führt jedoch nicht zum Erfolg, da das Auftreten von topologischen Beziehungen mit großer Stärke unter den Simplexen nicht unbedingt auf diese Beziehung zwischen den Objekten schließen läßt. Als Beispiel sind hier overlap und in zu nennen, von denen jeweils ein Wert bei den Untersuchungen der Simplexe auftreten kann, während die beiden Objekte tatsächlich die andere topologische 3D-Beziehung zueinander aufweisen.
Es gilt jedoch nicht nur diese negative Beobachtung, sondern vielmehr sogar folgende Tatsache, für den zweiten Schritt der Bestimmung der topologischen Beziehung von 2 Komplexen aus den jeweiligen Beziehungen ihrer Bestandteile:
Beweis. Wir beweisen den obigen Satz, indem wir eine
Beispielkonfiguration angeben, in der nie durch einfache Verknüpfung
von den topologischen Beziehungen der enthaltenen Simplexe eindeutig
auf die relative räumliche Lage der zugehörigen Objekte geschlossen
werden kann, da unterschiedliche Gesamtbeziehungen - trotz gleicher
Mengen von topologischen Beziehungen unter den Simplexen - möglich
sind. Ein Beispiel hierfür ist in Abb. 5.5 für den
Fall zweier Flächen zu sehen; Konfiguration bei denen Volumina
vorkommen, sind ähnlich leicht zu konstruieren. 
Wir haben also gesehen, daß eine einfache Komposition der
Einzelergebnisse zur Bestimmung der topologischen Beziehung zweier
3D-Objekte nicht ausreicht. Es werden vielmehr zusätzliche
Informationen über die Lage der zu betrachtenden Simplexe innerhalb
der Objekte benötigt. Wichtig ist hierbei der Rand der Objekte,
also die Frage, ob z.B. eine Seite eines Volumens zum Rand gehört,
oder sich im Inneren des Objektes befindet. Demnach haben topologische
Beziehungen zwischen den Simplexen eine höhere Relevanz für die
Gesamtbeziehung, wenn der Rand eines Objektes beteiligt ist.
Aufgrund des hohen Stellenwertes der Ränder für die topologische Komponente des GEOTOOLKIT, wird im Rahmen dieser Arbeit eine Randverwaltung für Volumina eingeführt; d.h. zu jedem Volumen wird im GEOTOOLKIT auch dessen Rand (geschlossene Fläche) persistent gespeichert, was sich positiv auf die Berechnungszeiten topologischer Beziehungen auswirkt, wie im 6. Kapitel zu sehen ist.
Aber auch mit den zusätzlichen Informationen über die Objektränder
können noch nicht alle topologischen Lagen zweier Flächen/Volumina
innerhalb des GEOTOOLKIT erfaßt werden. Hierzu kommen wir nochmal auf das
Beispiel aus Abb. 5.5 zurück, in dem die beiden Fälle
selbst mit der Kenntnis der Ränder nicht zu unterscheiden sind.
In dieser speziellen Situation bedarf es eines Vergleichs der
Ortsbeziehungen, der beteiligten Simplexe, um entweder auf
touch_1D oder cross schließen zu können. Noch
komplizierter wäre jedoch eine Situation, in der die Berührsegmente
genau auf ein Segment des anderen Netzes fallen. An diesem Segment
können dann wiederum zwei Dreiecke anliegen, so daß die
beteiligten Winkel zwischen diesen 4 Dreiecken zur Bestimmung
der topologischen Beziehung notwendig wären.
Zu dem in diesem Kapitel angegebenen Repräsentationsmodell für topologische 3D-Beziehungen im GEOTOOLKIT und der vorgestellten Konzeption zu dessen Umsetzung, soll nun im weiteren Verlauf der Arbeit, ein genauer Einblick in die Implementierung dieser topologischen Komponente gegeben werden.
