CBM vs. DE+9IM

Wollen wir nun ein Repräsentationsmodell für topologische Beziehungen finden, welches äquivalent zur CBM ist, so müssen beide zuvor erwähnten Kriterien erfüllt sein:

1. Modellierung der Dimensionen von zu betrachtenden Durchschnitten; dies wird innerhalb der CBM durch die Beziehungen cross und overlap bewerkstelligt.
2. Die Möglichkeit der Erkennung, ob der Schnitt zweier Objekte zu einem von ihnen identisch ist, was durch die in-Beziehung erreicht wird.

Dazu vergleichen wir im folgenden die Calculus Based-Methode mit der Vereinigung von DEM und 9IM, welche schon in Abschnitt 3.3.2 als DE+9IM eingeführt wurde. Mit dieser Methode können sowohl die Dimensionen der einzelnen Schnittmengen zwischen den Objektteilen, als auch die Dimension des zugrundeliegenden Raumes erfaßt werden. Jede so darstellbare topologische Beziehung wird demnach durch die Dimensionen der 9 Schnittmengen der Ränder, Inneren und Komplemente mit Hilfe der Matrix repräsentiert:

Für den Fall zweier Volumina können die folgenden Dimensionen in den jeweiligen Schnittmengen auftreten:

Die nächsten beiden Sätze führen uns schließlich zu dem wesentlichen Punkt dieses Abschnittes, daß nämlich die CBM äquivalent zur DE+9IM ist. Dazu werden nacheinander beide Richtungen bewiesen.

 

Beweis. Wie im Beweis zu Satz 3.5 kann jede topologische Beziehung der DE+9IM durch eine logische Konjunktion von 9 Termen repräsentiert werden, welche die Situation aus den 9 Schnittmengen wiederspiegelt. Für die Terme bis können zudem auch exakt die CBM-Ausdrücke aus dem oben zitierten Beweis übernommen werden, da bei diesen Termen in der DE+9IM auch nur maximal zwei Fälle unterschieden werden. Nur sind es hierbei nicht und , sondern und 2 bzw. 3. Es sind also nur noch die CBM-Ausdrücke für den Term , also für die verschiedenen Dimensionen der Rand/Rand-Schnittmenge anzugeben:

 
    		   
    		   
    		    
 [0.2cm]
    		   
    		   
    		    
 [0.2cm]
    		   
    		   
    		    
 [0.2cm]
    		   
    		   
    		   
             
 [0.2cm]

    		      
              
 [0.2cm]

 

Beweis. Der Satz sagt also aus, daß es auch zu jeder topologischen Beziehung, die mit der CBM modelliert werden kann, eine Darstellung innerhalb der DE+9IM gibt. Wir müssen also zu jedem Basisterm der CBM einen äquivalenten Ausdruck angeben, der sich nur auf Konzepte von DEM und 9IM stützt, um Satz 3.7 zu beweisen. Dabei betrachten wir wiederum den Fall zweier Volumina im 3-dimensionalen Raum.

 
    		   
    		   
    		 (  )   
       (  ) 
 [0.2cm]
    		   
    		   
    		 (  )   
       (  )   
       (  ) 
 [0.2cm]
    		   
    		   
    		 (  )   
       (  ) 
 [0.2cm]
    		   
    		   
    		 (  )   
       (  )   
       (  ) 
 [0.2cm]
    		   
    		   
    		 (  )   
       (  )
              
 [0.2cm]

Mit den letzten beiden Sätzen kommen wir nun zu dem Ergebnis, daß die Calculus Based-Method von der Mächtigkeit her mit einer Vereinigung des Dimension Extended- und des 9-Intersection-Modells gleichzusetzen ist.