CBM vs. DEM

Daß die Calculus Based-Methode im Stande ist, Dimensionen zu unterscheiden, beweist der folgende Satz:

 

Beweis. Wir beschränken uns in diesem Beweis auf den Fall zweier Volumina im . Die Beweisidee liegt nun darin, jede mögliche Dimension der Durchschnitte der beiden Ränder und Inneren durch Terme innerhalb der CBM zu erfassen und diese schließlich folgendermaßen mittels logischer Konjunktion ( ) zu verknüpfen:

Zu jedem möglichen Term der DEM muß also nur noch ein äquivalenter Term der CBM angegeben werden, damit jede mit Hilfe der DEM dargestellte topologische Beziehung auch von der Calculus Based Method erfaßt werden kann:

 
    		   
    		   
    		    
 [0.2cm]
    		   
    		   
    		    
 [0.2cm]
    		   
    		   
    		    
 [0.2cm]
    		   
    		   
    		   
             
 [0.2cm]

    		       
 [0.2cm]
    		   
    		   
    		   
            
             
 [0.2cm]
    		   
    		   
    		   
             
 [0.2cm]
    		   
    		   
    		   
            
             
 [0.2cm]
    		   
    		   
    		   
             
 [0.2cm]
    		   
    		   
    		   
             
 [0.2cm]
    		   
    		   
    		   
            
            
              
 [0.2cm]

Als Beispiel nehmen wir den Fall eines 2-covered_by zweier Volumina, welcher innerhalb der DEM mit dieser -Matrix dargestellt wird:

Nach Anwendung der Regeln, die im obigen Beweis erarbeitet wurden, ergibt sich folgender CBM-Ausdruck:

 
  		 (  
          
          )
        		 (  ) 
 [0.2cm]
  		 (  
          ) 
        		 (  ) 
 [0.2cm]
  		 (  
          
          )
        		 (  ) 
 [0.2cm]
  		 (  
          
          )
  		 (  )

Satz 3.3 besagt also, daß mit der CBM alle topologischen Beziehungen der DEM zu unterscheiden sind. Aber gilt auch die Umkehrung dieser Aussage? Nein, denn es ist leicht zu sehen, daß es topologische Fälle gibt, die mit der DEM nicht unterscheidbar sind, während sie mit der CBM differenziert werden können. Nehmen wir beispielsweise die beiden topologischen Beziehungen zwischen einem Volumen und einer Fläche aus Abb. 3.7, welche beide mittels der DEM durch folgende -Matrix repräsentiert werden:

 

Die Tatsache, daß die erste Situation allerdings einem cross entspricht und die zweite einem in, wird erst durch die CBM erfaßt, wo wir eine Unterscheidung mit den zugrundeliegenden Primitiven erreichen können:

 
  		 (     
          
       )
  		 (a) 
 [0.2cm]
  		 (     
          
       )
  		 (b) 
 [0.2cm]

Diese zusätzliche Ausdruckskraft wird der CBM vor allem durch die in-Beziehung (aber auch durch die Randoperatoren und ) verliehen. Die in-Beziehung (vgl. Definition 3.13) ermöglicht die Aussage, daß das Ergebnis eines Schnittes zweier Objekte zu einem von ihnen identisch ist, was ein eindeutig stärkeres Ergebnis darstellt, als die bloße Dimension des Schnittes (wie im Fall der DEM).

Wir können also als Resultat dieses Abschnittes den Satz 3.3 noch verschärfen: