Vollständigkeit

 

Es soll nun einerseits die paarweise Verschiedenheit der zuvor definierten topologischen Beziehungen gezeigt werden, d.h. daß also keine zwei verschiedenen Beziehungen dieselbe Lage charakterisieren können. Andereseits wird jede topologische Situation ausgeschlossen, die nicht von der CBM erfaßt wird, so daß die Vollständigkeit dieses Repräsentationsmodells bewiesen werden kann (vgl. [CFvO93]).

 

Beweis. Zum Beweis dieses Satzes entwickeln wir den Entscheidungsbaum topologischer Beziehungen und zeigen, daß jeder mögliche Pfad in diesem Baum einem Element aus entspricht.

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Abb.  : Entscheidungsbaum topologischer Beziehungen

Jeder innere Knoten in diesem Entscheidungsbaum (Abb.  ) stellt ein boolesches Prädikat dar, welches mit einer bestimmten topologischen Lage wahr wird und demnach der linke Ast im Baum zu verfolgen ist; hat das Prädikat hingegen den Wert falsch ist rechts zu verzweigen. Dies ist solange zu wiederholen, bis ein Blatt des Baumes erreicht wird. Blätter im Entscheidungsbaum topologischer Beziehungen entsprechen den 5 Grundbeziehungen der CBM, welche zu den topologischen Situationen gehören, die auf dem Weg von der Wurzel zum Blatt entwickelt wurden. Die beiden Aussagen von Satz 3.1 sollen nun anhand dieses Baumes bewiesen werden:

1. Zwei verschiedene topologische Beziehungen aus können nicht für zwei gegebene Objekte gleichzeitig gelten, weil jeder Beziehung jeweils genau ein Pfad im Entscheidungsbaum aus Abb.   entspricht.
2. Es können keine topologischen Beziehungen außerhalb von existieren, weil
   1. einerseits jeder innere Knoten zwei Söhne hat, so daß für jeden möglichen Wert eines Prädikates (wahr oder falsch) ein entsprechender Pfad im Baum eingeschlagen werden kann und
   2. andererseits jeder Blattknoten des Entscheidungsbaumes aus Abb.   mit einer der 5 topologischen Beziehungen aus beschriftet ist und zu den angegebenen Definitionen korrespondiert.    

Wir haben also ein Repräsentationsmodell für topologische Beziehungen vorgestellt, das nur 5 verschiedene topologische Situationen unterscheidet. Welche Ausdruckskraft mit dieser CBM verbunden ist, wird nun im Vergleich zur 9IM und DEM diskutiert.