1991 erweiterte EGENHOFER in [Ege91] seine
4IM um die Betrachtung der Komplemente der jeweiligen
Objekte. Durch die Hinzunahme des Komplementes zu Rand
und Innerem wird nun jedes betrachtete Objekt in drei disjunkte
Teile partitioniert, so daß für die Bewertung der topologischen
Beziehung zwischen zwei Objekten nunmehr 
Durchschnitte zu
untersuchen sind. Aus diesem Grund wird das folgende
Repräsentationsmodell im allgemeinen auch als 9-Intersection
(9IM) bezeichnet.
Wir betrachten also zu den zwei gegebenen Objekten 
und 
jeweils deren Ränder 
und
, die Inneren 
und
, sowie deren Komplemente 
und
bezüglich des zugrundeliegenden Raumes
. Die topologische Beziehung zwischen
und wird dann durch die 9 Durchschnitte beschrieben,
die zwischen jedem Teil des ersten und jedem Teil des zweiten
Objektes bestehen. Zu diesem Zweck dient die Matrix 
,
in der alle Schnittmengen erfaßt werden:
Die einzelnen Schnitte werden in diesem Modell wieder nur zwischen
leer ( 
) und nicht-leer ( 
) unterschieden,
so daß 
mögliche Kombinationen entstehen können. Dieser
höhere Mächtigkeitsgrad der 9IM gegenüber der 4IM
schlägt sich jedoch nicht in der Anzahl und Art der tatsächlich
unterscheidbaren topologischen Beziehungen nieder, denn wie beim
4IM besteht das Repräsentationsmodell der 9IM aus
folgenden 8 Beziehungen, sofern die zugrundeliegenden Objekte
geschlossen und zusammenhängend sind:
Diese 8 topologischen Beziehungen werden in Tabelle 3.1
anhand der Matrix spezifiziert. Alle anderen
Kombinationen sind auch in diesem Modell durch die topologischen
Bedingungen des Zusammenhangs und der Geschlossenheit der
beteiligten Objekte nicht möglich.
Doch dann ist die Frage nach dem Sinn dieser Erweiterung berechtigt. Sie ist beispielsweise dafür nötig, um entscheiden zu können, ob ein Objekt vollständig in einem anderen enthalten ist, wenn die Codimensionen (s.u.) der Objekte > 0 sind; dies ist mit der 4IM nämlich nicht möglich. Bevor dies an einem Beispiel genauer gezeigt wird, soll nun jedoch zuerst die Definition der Codimension angegeben werden.
Nehmen wir jetzt als Beispiel für Objekte mit Codimension 1
zwei Flächen im 
und stellen die topologischen
Beziehungen aus Abb. 3.3 mit der 4IM und
der 9IM gegenüber. Fall (a) ist sicherlich als
contains einzustufen, während in (b) ein Beispiel
für ein overlap angegeben ist, da sich beide Objekte
nicht in der gleichen Ebene befinden. Innerhalb des 4IM
werden beide topologischen Beziehungen jedoch durch die Matrix
mit der Ausprägung für die
contains-Beziehung repräsentiert:
Die fehlende Möglichkeit der Erkennung dieser speziellen
overlap-Lage im Rahmen der 4IM liegt daran,
daß der zugrundeliegende Raum nicht vollständig erfaßt
werden kann. Da in diesem Fall des overlaps beide
Objekte nicht in der gleichen Ebene liegen, ist das Vorkommen
dieser topologischen Beziehung möglich, obwohl kein Schnitt
der beiden Ränder vorliegt. Durch die Hinzunahme der
Komplemente innerhalb der 9IM kann nun
jedoch das contains von dem overlap dadurch
differenziert werden, daß im zweiten Fall (im Gegensatz
zum contains) nicht-leere Schnittmengen beider
Komplement/Rand- bzw. Komplement/Inneres-Durchschnitte
festzustellen sind:
Die 9-Intersection-Methode ist also der
4-Intersection-Variante insofern überlegen, daß sie zur
Bestimmung der topologischen Beziehung zwischen zwei Objekten
nicht nur deren Bestandteile betrachtet und Rückschlüsse aus
den paarweisen Schnittmengen zieht, sondern außerdem den
zugrundeliegenden Raum - als wichtiges Kriterium der räumlichen
Lage - nicht vernachlässigt.
Eine Unterscheidungsmöglichkeit der Dimension der betrachteten
Durchschnitte ist allerdings in diesem Modell auch noch nicht
vorgesehen. So ist beispielsweise eine Punktberührung (0D) noch
nicht von einer Flächenberührung (2D) zu unterscheiden, da die
betreffende Schnittmenge der beiden Ränder (
) in beiden Fällen nur einen nicht-leeren
Schnitt ( ) zurückliefert.
Die Beseitigung dieses Defizites wird im nächsten Abschnitt mit der dimensionserweiternden Methode angegangen.
