Formalismus

 

Das Modell EGENHOFERS beruht darauf, die zu untersuchenden Objekte in deren Rand und Inneres aufzuteilen und jeden Teil des einen mit jedem des anderen Objektes zu verschneiden. Die so resultierenden 4 Schnitte werden dann zwischen leer und nicht-leer unterschieden und charakterisieren somit vollständig die vorliegende topologische Beziehung. Die Durchschnitte zwischen den Objekten und bestehen im einzelnen aus:

1. Schnitt der beiden Ränder: .
2. Durchschnitt des ersten Randes mit dem Inneren des 2. Objektes: .
3. Schnitt des Inneren des 1. Objektes mit dem Rand des 2.: .
4. Gemeinsamen Teilen im Inneren der beiden Objekte: .

Auf diesem Wege erhält man die -Matrix , welche die topologische Beziehung zwischen und repräsentiert.

Um in den n-dimensionalen Raum eingebettete n-dimensionale Objekte auf ihre topologische Lage hin zu untersuchen, reichen die Konzepte Rand und Inneres aus (vgl. Abschnitt 3.2). Vernachlässigt man - wie in diesem Modell - die Dimension der Schnittmengen, so muß man hier lediglich die Unterscheidung nach leerem oder nicht-leerem Schnitt ( ) vornehmen, um die jeweilige Beziehung anhand der zu klassifizieren. Demzufolge gibt es verschiedene Ausprägungen von , woraus sich die Möglichkeit ergibt, auch 16 topologische Fälle zu unterscheiden. Die Eigenschaft des Zusammenhangs der betrachteten Objekte, legt jedoch bestimmte Implikationen fest, die zwischen den Schnittmengen existieren. Diese verbieten das Auftreten einiger Fälle, da es beispielsweise nicht vorkommen kann, daß und leer sind, wenn schon ein nicht-leerer Schnitt der beiden Inneren festgestellt wurde.

Welche Fälle in Bezug auf die jeweilige Dimension des Raumes möglich sind, wird im nächsten Abschnitt diskutiert und Definitionen dieser topologischen Beziehungen im Rahmen des vorgestellten Formalismus angegeben. Dabei ist eine intuitive räumliche Interpretation wünschenswert - sie kommt jedoch nicht zwangsläufig mit den Definitionen einher. Andere (systematischere) Notationen als in 3.1.2 wären ebenfalls geeignet, topologische Beziehungen zu klassifizieren (z.B.  - im Rahmen einer einfachen Nummerierung der 16 Fälle). Die gewählten Notationen sind also rein willkürlich, dienen jedoch dazu, das Verständnis der abstrakten Definitionen zu verbessern.