Topologische Beziehungen zwischen räumlichen Objekten sind wichtige Informationen, die Geowissenschaftler mit Hilfe von Geo-Informationssystemen in Erfahrung bringen möchten. Dazu ist es jedoch nötig, topologische Beziehungen mit präzisen Semantiken zu belegen, um aus einer formalen Theorie heraus ein adäquates Repräsentationsmodell angeben zu können, welches einerseits umfangreich genug ist, topologisch signifikante Unterschiede räumlicher Beziehungen zu trennen, zum anderen hierbei aber auch keine - für den geowissenschaftlichen Benutzer - unnötigen Differenzierungen vornimmt und demnach überschaubar bleibt.
Wie im vorherigen Kapitel schon angesprochen, stellt die Menge topologischer Beziehungen diejenige Teilmenge der großen Anzahl von räumlichen Beziehungen zwischen zwei Objekten dar, die unter topologischen Transformationen invariant bleiben. In diesem Kapitel werden nun topologische Beziehungen explizit definiert und Modelle zu deren Repräsentation erarbeitet. Die Mächtigkeit der verschiedenen hier vorgestellten Ansätze wird jeweils bewertet und schließlich verglichen.
Zuerst folgt in Abschnitt 3.1 der auch zeitlich erste Vorschlag, topologische Beziehungen zu definieren. Dieser stammt von EGENHOFER aus dem Jahre 1989 und basiert auf der Unterteilung der zu betrachtenden Objekte in deren Rand und Inneres. Er betrachtet die vier möglichen Schnitte, um auf die topologische Lage zu schließen, weshalb diese Methode allgemein als 4-Intersection (4IM) bezeichnet wird (vgl. [Ege89]).
Die 4-Intersection-Methode gilt jedoch nur für zwei Objekte,
welche die gleiche Dimension haben, wie der korrespondierende Raum,
in den sie eingebettet sind. Eine Korrektur dieser Einschränkung wird
in 3.2 mit der 9-Intersection-Methode (9IM)
angegeben (vgl. [Ege91]); sie erweitert den ursprünglichen
Ansatz der 4IM um die Betrachtung des Komplementes
und ist damit auch für Objekte mit Codimension > 0
gültig
.
Eine andere Erweiterung der 4IM wird in Abschnitt 3.3 mit der Dimension Extended Method (DEM) erläutert. Bei diesem Ansatz fließt die Dimension bei der Betrachtung der 4 Schnitte von Rand und Innerem ein, anstatt nur zwischen leerem und nicht-leerem Schnitt zu unterscheiden. Auf diesem Wege können somit weit mehr Fälle verschiedener topologischer Beziehungen definiert werden.
Den entgegengesetzten Ansatz geht die - in Abschnitt 3.4 vorzustellende - Calculus Based Method (CBM), in der die Anzahl topologischer Beziehungen bewußt klein gehalten wird. Trotz einem minimalen Repräsentationsmodell von nur 5 Beziehungen büßt diese Methode jedoch keinerlei Ausdruckskraft gegen die anderen Ansätze ein, wie in einer abschließenden Diskussion nach den jeweiligen Vergleichen gezeigt wird.