Der folgende Ansatz zur Definition eines topologischen Raumes basiert auf allgemeinen Punktmengen zur Darstellung räumlicher Objekte und orientiert sich am Konzept der Nachbarschaften um Punkte aus solchen Mengen.
Das Standardbeispiel eines topologischen Raumes ist die sogenannte
``natürliche Topologie`` der euklidischen Ebene, in der eine
Nachbarschaft eines Punktes 
als offene
Kreisscheibe um diesen Punkt x aufgefaßt wird. Analog dazu wird
der 
zum topologischen Raum, wenn man hier
Nachbarschaften durch offene Kugeln
darstellt.
Die Gültigkeit dieser beiden Aussagen mache man sich schnell durch
eine Überprüfung der zwei Bedingungen klar. Nicht trivial ist
hierbei nur die zweite, welche jedoch folgendermaßen bewiesen
werden kann (vgl. Abb. 2.6):
Seien 
und 
zwei offene Kreisscheiben/Kugeln um den Punkt
x im 
/ und seien 
und 
die minimalen Abstände der Ränder dieser Nachbarschaften zu x,
dann existiert eine weitere Nachbarschaft um x (im Schnitt von
und ), welche man durch eine offene Kreisscheibe/Kugel
mit dem Radius 
erhält. 
Nachdem nun der Begriff des topologischen Raumes formal
eingeführt wurde, sollen im weiteren Verlauf dieses Abschnittes
noch einige Definitionen angegeben werden, die im Zusammenhang
der Punktmengen-Topologie wichtig sind.
Als Beispiel für den Begriff der Nähe sei im
(mit der natürlichen Topologie) die offene Einheitsscheibe
gegeben. Dann sind nicht nur alle
Punkte, die in E liegen, nahe E, sondern z.B. auch der
Punkt (0,1), obwohl er nicht Element von E ist. Dies liegt daran,
daß jede offene Kreisscheibe um (0,1) in E hineinragt.
Offensichtlich ist die Hülle einer Punktmenge P geschlossen; sie
ist vielmehr sogar die kleinste geschlossene Punktmenge, die P
enthält. Im obigen Beispiel der offenen Einheitsscheibe E wird die
Hülle dadurch gebildet, daß der Umring zur Menge hinzugenommen wird
und so die geschlossene Einheitscheibe 
entsteht.
Wichtige topologische Informationen sind aus denjenigen Teilen von räumlichen Objekten abzuleiten, welche im folgenden als Rand und Inneres definiert werden. Zunächst kommen wir jedoch zur Notation des Komplementes:
Das Innere einer Punktmenge P ist offen und stellt sogar die größte offene Punktmenge dar, welche in P enthalten ist. Im obigen Beispiel der Einheitsscheibe ist die offene Einheitscheibe demnach das Innere sowohl der offenen als auch der geschlossenen Einheitscheibe.
Mit einer weiteren Überlegung ist zu sehen, daß sich der Rand
gerade aus der Mengendifferenz zwischen der Hülle und dem Inneren
einer Punktmenge ergibt. Ein Punkt p aus dem Rand 
von
P ist nämlich nahe P, also in der Hülle 
. Da p auch
nahe P' ist, kann p nicht in 
sein. Demnach gilt
also: 
.
Die soeben eingeführten Begriffe von Rand und Innerem wurden allein über das Konzept der Nähe und damit nur anhand von topologischen Ausdrücken definiert. Das sich eine Unterteilung von räumlichen Objekten in ihren Rand und ihr Inneres zur Betrachung von topologischen Beziehungen als geeignet erweist, wurde schon vor 10 Jahren von EGENHOFER ([Ege89]) erkannt. Eine darauf beruhende Charakterisierung von topologischen Beziehungen bildet den Anfang des nächsten Kapitels, in dem diese formalisiert und verschiedene Ansätze zu deren Repräsentation diskutiert werden.
