Die Modellierung geometrischer Objekte durch simpliziale Komplexe entspricht einer Mosaikzerlegung der Objekte in strukturell gleichgebaute Primitive, welche aber in der Regel verschiedene Größenverhältnisse aufweisen. Solche Grundbausteine heißen Simplexe und stellen die minimalen Objekte in ihrer Dimension dar. Der 0-Simplex ist ein Punkt, der 1-dimensionale Simplex entspricht einem Segment, ein Dreieck ist ein 2-Simplex und Tetraeder fungieren als 3-Simplexe (vgl. Abb. 2.4).
Die folgenden Definitionen formalisieren die Begriffe Simplex und simplizialer Komplex, welcher als Simplexmenge gesehen werden kann, bei der der paarweiser Schnitt zweier Simplexe entweder in der Menge enthalten oder aber leer ist.
Zu gegebenen d-Simplex S existieren demnach (d+1) affin unabhängige Seitensimplexe der Dimension (d-1). Beispielsweise ist ein Tetraeder (3-Simplex) durch vier 2-Simplexe beschränkt und jedes dieser Dreiecke wiederum durch drei 1-Simplexe.
Die Dimension d eines simplizialen Komplexes (d-Komplex) entspricht also der maximalen Dimension seiner zugrundeliegenden Simplexe.
Falls zwei Simplexe eines simplizialen Komplexes K also einen nicht-leeren Schnitt haben, so ist dieser Schnitt-Simplex zwingend in K enthalten. Abb. 2.5 zeigt unter (a) ein Beispiel eines gültigen 2-Komplexes, während das Objekt unter (b) diese erste Bedingung nicht erfüllt und demnach kein simplizialer Komplex ist. Beispiel (c) stellt ebenfalls keinen gültigen simplizialen Komplex dar, da die zweite Bedingung, daß zu jedem Simplex auch alle Seitensimplexe vorhanden sind, durch das Fehlen des oberen Randpunktes verletzt wird.
Geometrische Objekte im 3-dimensionalen Raum können also mittels einer zusammenhängenden Menge von Simplexen, welche einen simplizialen Komplex instanziieren, modelliert werden. Eine solche Repräsentation über Komplexe stellt auch ausgedehnte räumliche Objekte als Entitäten dar und fällt demzufolge in die Klasse objektbasierter Modellierungsansätze. Durch die interne Struktur unregelmäßiger Simplexe steht diesem Modell zudem das Konzept des Feldes offen, auf das zurückgegriffen werden kann, um auch Teile eines Objektes mit Attributen zu belegen, falls dies nötig sein sollte.
Wie später in Kapitel 4 noch erläutert wird, ist das räumliche Repräsentationsmodell der simplizialen Komplexe Grundlage der Modellierung von Flächen und Volumina im GEOTOOLKIT. Hierfür wird das Modell derart eingeschränkt, daß in einem 2-Komplex (Fläche im 3D) nur Dreiecke enthalten sein dürfen und ein 3-Komplex (Volumen) nur aus Tetraedern bestehen kann. Es werden außerdem die Nachbarschaften unter den einzelnen Simplexen explizit modelliert, so daß topologische Zusammenhänge leicht ableitbar sind. Das so gewonnene Darstellungsmodell für Flächen und Volumina eignet sich also auch gut für die Einbindung von topologischen Beziehungen im GEOTOOLKIT.
Im nun folgenden letzten Abschnitt dieses Gundlagen-Kapitels wird der Begriff des topologischen Raumes formalisiert und weitere Begriffe im Kontext der Topologie definiert, die für diese Arbeit sehr wichtig sind.
